カーブフィッティング入門 - 開発者ドキュメント

1. 概要

このチュートリアルでは、カーブフィッティングを簡単に紹介します。最初に、カーブフィッティングの基本的な用語と主なカテゴリを示し、次にカーブフィッティングの最小二乗アルゴリズムを示します。詳細な例を示します。

測定されたデータポイントのセットが与えられたとしましょう。 カーブフィッティングは、このデータセットに最適な解析形式の数学関数を見つけるプロセスです。最初に発生する可能性のある質問は、なぜそれが必要なのかです。多くのカーブフィッティングが役立つ場合：

一般に、カーブフィッティングは、観測データの処理方法に基づいて、2つの主要なカテゴリに分類されます。

ここでは、測定されたデータポイントにノイズが多いと想定しています。したがって、すべてのデータポイントをインターセプトする曲線を適合させたくありません。 私たちの目標は、特定のデータポイントで事前定義されたエラーを最小化する関数を学習することです。

最も単純な最適な方法は、線形回帰であり、曲線は直線です。より正式には、パラメトリック関数は勾配であり、切片とサンプルのセットです。私たちの目標は、与えられたサンプルの値を学習し、エラー基準を最小化することです。

より一般的には、多項式回帰は、特定の次数の多項式をデータに適合させたい場合を指します。

上記の関数では、学習したいパラメータが毎回等しいことがわかります。以下に、さまざまな関数を使用したカーブフィッティングの例をいくつか示します。

また、次のような他の関数をデータに適合させることができます。

この場合、与えられたサンプルにノイズがないと仮定し、各点を通過する曲線を学習したいと思います。有限差分近似を導出したい場合に役立ちます。 X208X]または、関数の最小値、最大値、およびゼロ交差を検索します。

次の図では、多項式補間を使用した正確な近似の例を示しています。

カーブフィッティングのために提案されたアルゴリズムはたくさんあります。 最もよく知られている方法は最小二乗法で、残差の二乗和が最小になるように曲線を検索します。残差とは、観測されたサンプルと推定値の差を指します。フィット曲線から。線形関係と非線形関係の両方に使用できます。

の線形の場合、適合させたい関数はです。したがって、最小化するようにパラメーターを見つけたいと思います（残差の合計）。

上記の用語を最小化するために、2つの条件があります。

非線形最小二乗問題では、非常に有名なアルゴリズムはガウス-ニュートン法です。アルゴリズムが収束するという理論的な証拠はありませんが、実際には適切な解を見つけ、簡単に実行できます。埋め込む。

ここでは、最小二乗法を使用してサンプルのセットに直線を当てはめる例を示します。次のデータがあるとします。

下のグラフでは、散布図でデータを確認できます。

一次関数を当てはめたい。前のセクションで導出した方程式のデータを置き換えると、次の結果が得られます。

上記の2つの方程式と2つの変数のシステムを解くと、それとが見つかります。だから、私たちは関数を持っています：

上のグラフで、赤い線は入力データの近似曲線に対応しています（青い点）。 予想どおり、近似線は入力点からの距離が最小の線です。

このチュートリアルでは、カーブフィッティングについて説明しました。まず、カーブフィッティングの基本的な用語とカテゴリを紹介しました。次に、理論と例の両方で最小二乗アルゴリズムを示しました。