命題論理 - 開発者ドキュメント

1. 概要

このチュートリアルでは、命題論理と論理演算子の基本的な概念を学習します。

チュートリアルの最後では、命題と論理演算子の概念に精通し、命題論理で基本式の真理値を計算する方法を理解します。

2. 命題論理の紹介

命題論理は、言明とそれらの関係の研究に焦点を当てた論理、哲学、および離散数学の分野です。この分野は、数学などの正式な分野よりも論理的推論を形式化することを目的として開発され、さらにコンピューティングに拡張されました。 命題論理がその一部である論理的および記号的推論に関係する機械学習の分野は、記号的人工知能と呼ばれます。

シンボリック人工知能には、論理的命題に対する推論に関連する方法論が含まれています。これらの方法論は、自律エージェントシステムの重要なコンポーネントであり、自然言語処理、エキスパートシステム、ベイズ推定、および意味表現のブランチの不可欠な部分です。

これらの方法論の中に、推論エンジンの操作に関連する方法論があります。推論エンジンは、新しい知識をアルゴリズムで生成するために命題知識を使用するシステムであり、命題論理と同じ理論的基盤に基づいています。

命題論理はまた、数学および形式論理における特定のタイプの定理の自動証明を可能にします。命題論理を使用した最初の自動定理証明器は1950年代にさかのぼりますが、それ以来、開発は着実に続けられています。今日、特殊なプログラミング言語があり、特定の条件下でそれらの言語で定理された定理の証明を見つけることを保証する自動定理証明手順が含まれています。

3. ステートメント

3.1. 命題論理におけるステートメント

命題論理の分野の基礎となるのは、ステートメントの概念です。ステートメントは、論理システム全体を構築するための基本的な概念単位であり、論理操作を実行できるようにします。

命題論理の文脈におけるステートメントは、人間の自然言語の構文上および文法上の規則に準拠する一連の単語です。この意味で、ステートメントは文の一般的な定義と同じであり、2つの概念は実際には関連していますが、完全に一致しているわけではありません。後で説明するように、ステートメントは実際には命題論理に固有の追加のルールにも準拠している必要があります。すべてのステートメントが文であることは事実ですが、ステートメントではない文もあります。

ステートメントは、世界に関する事実または抽象的な知識を取得するために解釈できます。 ただし、自動で、理解せずに操作することも可能です。

構文構造に意味的な意味を割り当てることにより、人間はステートメントを解釈し、その内容を理解することができます。代わりに、それらに対して論理演算を実行することにより、プログラムは一連のステートメントに対して推論を実行し、新しい真理を推測することができます。命題に対する自動推論の一般的なシステムには、ビジネス管理で頻繁に使用されるDroolsおよびd3webがあります。

3.2. 命題論理の表記

命題は通常、またはのようにイタリック体でアルファベットの小文字で示されます。ただし、ステートメントに特定のコンテンツを割り当てる場合は、対応する大文字を使用することをお勧めします。さらに、これは多くの人にとって混乱の原因となることが多く、ステートメントのセットも大文字で示されているため、特定の内容のステートメントのセットと区別するのが困難です。

したがって、この表記法によれば、次のように言うことができます。

たとえば、定理を証明するために使用できる一般的な命題を示します
およびなどの2つの特定のステートメントを示します
2つの命題を含むセットを示します
上記で定義された2つの特定のステートメントを含むセットを示します

命題論理の文献における表記法はある程度柔軟であるため、各著者が各記号で何を意味するかを正確に読む必要があります。とにかく、すべての著者は、一般的な命題を識別するために小文字を使用することに同意します。ここでもそれを行います。

3.3. 命題の真理値

ステートメントは言語学の文に類似していると述べましたが、言及すべき重要な違いがいくつかあります。これらは、命題のいわゆる真理値に関連しており、これは現在見られ、言語学との関係については次のセクションで説明します。

ステートメント（必ずしも文である必要はありません）には、真理値があります。これは、文が命題である場合、それが真実であるかどうかについて、原則としてを決定することが可能であることを意味します。逆に、文の有効性について原則を決定できない場合、その文は命題ではありません。

両方のケースの例をいくつか見てみましょう。

「温度は24度です」という命題は、温度計とその測定値を観察することでその真実を評価できるためです。
「豚は飛ぶことができる」という命題は、豚が飛んでいる（または飛んでいない）のを観察することで確認できるためです。
「冥王星にピンクのユニコーンが住んでいる」という命題は、冥王星にロケットを送って確認することを想像できるからです。
「ジョーはスパゲッティが嫌い」は提案です。ジョーに彼の好みを聞いて調べることができるからです。
「あなたはこの映画が好きですか？」この文の答えの真実を議論することはできますが、質問の真実を議論することはできないので、命題ではありません
「行く前に少し休む」というのは提案ではありません。招待状やアドバイスには決定する方法がないからです。

3.4. 真理値とブール論理

命題の真理値は明確でなければならず、唯一の値を想定している必要があります。これは、このコンテキストでは、ブール論理が常に命題論理に適用されることを意味します。 これは、ステートメントにtrueまたはfalseの2つの値のうちの1つだけが必要であることを意味します。

コンピュータサイエンスでは、trueとfalseに対して、それぞれ2桁の数字1と0でステートメントの真理値を示すのが通例です。ここでも同じことを行い、命題が真の場合は1、それ以外の場合は0の値になると言います。

命題の真理値に関する最後の注意点は、ブール論理は本質的に必要ではなく、むしろ慣例であるということです。実際、ファジーおよび量子論理の命題論理への拡張が存在しますが、それらはこの記事の範囲外であり、ここでは扱いません。

4. 宣言型と非宣言型の文

命題は、原則としてで真実を決定できる文であると前述しました。次に、言語学でこれらの文をどのように呼び出して定義するかを見ていきます。これにより、論理形式の命題から自然言語の文に変換できるようになります。

少なくとも4つのクラスの文を識別できます。

世界に関する事実または情報を含む宣言型
質問文。宣言型の文を使用して回答できる質問を提示します。
命令または物事がどのように行われるべきか、または行われなければならないかについての指示を含む
感嘆符、リスナーに感情を呼び起こすことを目的としていますが、事実に基づく内容はありません

ここで順番に表示します。

4.1. 宣言文としての命題

宣言型の文は、命題に変換される文です。すべての宣言文には、主語と述語の少なくとも2つの要素があります。述語は常に明示的であり、文の中で認識可能な単語である必要があります。

主題、必ずしもそうではありません。英語では、宣言文の主題は常に明示的ですが、これはすべての言語に有効というわけではありません。主語のない述語を含むこれらの言語の1つでの宣言型文は、主語が動詞の形態によって常に推測できるため、命題を構成します。

たとえば、英語の宣言文「we go home」は、私たちがどこに向かっているのかを観察することで真理値をテストできる世界についての事実の記述が含まれているため、命題です。文には明確な主題が含まれていますが、これは偶然であり、英語に固有のものです。同じ文は次のように表されます。

イタリア語で「andiamoacasa」
ロシア語で「идемдомой」
アラビア語で「نذهبإلىالبيت」

主題はこれらの言語のいずれにおいても明確ではありませんが、すべての文に含まれる情報は英語のサンプル文と同じです。このことから、文の構文的内容ではなく、文の情報内容が、文を宣言型ではなく宣言型として、したがって命題として分類することを決定したものであるという結論を導き出します。

4.2. 非命題と質問

命題論理に近づくときのよくある間違いは、非宣言文を命題として誤って識別することです。したがって、ここでそれらをより詳細に見て、それらを見つけて間違えないようにする方法を理解します。

非宣言文の最初のクラスは質問です。質問文は、多くの場合、最後の疑問符で簡単に認識できますが、それほど些細なことではない場合は、注意する必要があります。これらのサンプル文を見てみましょう。

「ここからどうやって家に帰れるのか教えてください。」
「荷物がまだ届いたかどうか教えてくれましたか？」
「あなたが正直であるかどうか知りたいのですが。」
「私は驚いています、どうしてあなたは聞いていないのですか！」

4つの文にはすべて間接的な質問が含まれています。質問を強調するために、これらを書き直して、この方法で分解することができます。

教えて！ここからどうやって家に帰れますか？
彼らはあなたに言いましたか？パッケージはもう届きましたか？
知りたいのですが。正直ですか？
私は驚いています！どうして聞いてないの？

これらのうち、文番号3は、宣言型に埋め込まれた間接的な質問で構成されており、一見すると、誤って宣言型として識別される可能性があります。

4.3. 非提案と命令

非宣言文の2番目のクラスは、命令または命令を構成する命令です。 命令法という単語は、実際にはラテン語の動詞 impero の派生語であり、からコマンドを意味します。

命令は命題ではありません。なぜなら原則としてそれらの真理値を決定することは不可能だからです。実際、それらには、実際の状況ではなく、世界がまたは必要である必要がある方法に関する情報が含まれています。原則として、文の終わりに感嘆符が表示されている場合、その文は感嘆符または命令型のいずれかですが、宣言型ではありません。ただし、エッジケースは認識を困難にします。

英語などの言語では、テキスト内の命令文を検出するためのルールベースのシステムを構築できます。ルールは次のように述べています。「文に明確な主語がない場合、それは必須です」：

行け！
ここに来て。
サラダを全部食べなさい。

ただし、この考慮事項はすべての言語に当てはまるわけではありません。それらのいくつかについては、命令文と宣言文を区別するための文脈上の手がかりが必要です。たとえば、イタリア語では、英語の文は「あなたは家に帰ります」と「家に帰ります！」です。同様に「vaiacasa」と訳されますが、これは純粋に構文上の理由で区別することを不可能にします。

4.4. 非命題と説明

命題を形成できない最後のクラスの文は、感嘆文です。これらは通常、命令法と同様に、最後に感嘆符で示されます。

命題論理の文脈では、命令文と感嘆文を区別する必要はありません。 したがって、一般に、感嘆符で終わる文は論理的な命題ではないと見なすことができます。

感嘆文は、コミュニケーションにおけるそれらの機能が感情を呼び起こしたり、喚起したりすることであるため、命題ではありません。彼らは世界についての情報を持っていないので、彼らの真理値を決定することはできません。むしろ、それらは愛情の内的次元の表現を可能にするという排他的な目的を果たします。このテーマについては、テキスト内の感情の検出に関する記事で詳しく説明しました。

5. 論理式

この分野の中心は、整形式の概念でもあります。これは、代数の代数式に相当するWFFと略されることがよくあります。 WFFは、命題と同様の方法で、真または偽の真理値を保持する一連の記号です。 WFFを操作するための特別な規則があり、それが命題論理の主題を構成します。 WFFは、WFFでのみ推論を実行し、定理を証明できるため、重要です。

命題には真理値があるという事実についてはすでに説明しました。 したがって、すべての命題は、個別に、論理式です。論理式を構成する個々の命題は、その不可分性から、原子命題とも呼ばれます。ただし、2つ以上の原子命題を接続できる論理演算子があり、それらから複合命題を作成するのに役立ちます。

5.1. 否定演算子NOT

特別なタイプの接続の1つは、単項演算子であり、p ではなく、およびとしても表されます。この演算子は、2つではなく、1つの原子命題にのみ影響するため、単項と呼ばれるため、特別です。

否定演算子は最も単純な論理演算子であり、次の真理値表があります。

否定が先行する命題は、常に論理式です。私たちが定義した表記法では、がWFFである場合、それはWFFでもあると言えます。

英語の宣言文とその否定の間の変換は、適切な構文規則に従って、文にnotを追加することによって実行できます。が「マークはリンゴを食べる」という文を参照する命題である場合、「マークはリンゴを食べない」という文を参照します。英語では、文を否定するために助動詞を追加する必要があり、ではなくという単語を直接挿入できないことに注意してください。

二重否定の主題は特に複雑なものであることに注意してください。 二重否定とは、。などの同じ命題への否定演算子の二重適用を指します。コンピュータサイエンスと命題論理では、通常、命題の二重否定は元の命題と同じ真理を持っていることを受け入れますが、これを許可しない論理システムがあります。

5.2. 接続詞演算子AND

2番目の演算子はとで、2つの原子命題を相互に接続します。通常、この演算子は、、、、またはとして表現されます。 および演算子には、次の真理値表があります。

この演算子を理解する直感的な方法は、2つの命題の論理積は、両方が真である場合にのみ真であると言うことです。

および演算子を含むWFFと英語の宣言文の間の翻訳は簡単で、接続詞およびを文のペアに添付するだけで済みます。

5.3. 論理和演算子または

3番目の演算子はまたはで、2つの原子命題を互いに分離します。この演算子は通常、、、、またはとして記述されます。 または演算子には、次の真理値があります。

操作を覚えておく必要があります。2つの命題のいずれかがtrueの場合はtrueを返します。

またはを含むWFFを英語のフレーズに変換するには、文の間にまたはという単語を挿入するだけです。

5.4. 材料条件付きIF…THEN

4番目の演算子は材料条件付きですもし…なら 、とも呼ばれている含意または単に条件付き。通常、この演算子は、、、、またはのいずれかで表されます。条件演算子には次の真理値表があります。

条件演算子のコンテキストでは、最初の命題は含意の前提または前件と呼ばれ、2番目の命題は後件または結果と呼ばれます。

5.5. 材料条件の直感的な理解

この演算子は、すべての中で最も直感的ではありません。上記の真理値表を見ると、前件の真理値が与えられた結果が偽である場合を除いて、この演算子を含むWFFは常に真であることがわかります。

スポーツと余暇に関する例を使って、これが何を意味するかを見てみましょう。

この例は、次の一連の命題で表されます。

次に、この意味がいつ間違っているのかを自問することができます。外は晴れていて、サッカーをしているとしましょう。この場合、その意味は当然のことながら真実です。ただし、夜や雨が降っているときにサッカーをしているとします。

この場合、その意味は誤りですか？ 命題論理で提供する答えは、いいえ、含意は誤りではないということです。

5.6. マテリアルの条件付きが間違っているのはいつですか？

これを見る1つの方法は、含意が機能するのは、前提に存在する条件がそれ自体である場合にのみ機能することを想像することです。これは、この例には当てはまりません。私たちが実際に夜にサッカーをしている場合、したがってそれが真実である場合、それは私たちがプレーしている理由について何も教えてくれません。環境。

含意が偽である場合は、代わりに理解するのに十分簡単です。外は晴れていると想像してみてください。また、サッカーをしているのではなく、代わりにリンゴを食べていると想像してみてください。

そうすれば、外が晴れている場合にサッカーをするという約束が守られておらず、その意味が無効になっていると主張することができます。

変換に関する最後の注意：含意を英語のフレーズに変換するには、前件の前に if を挿入し、後件の前に次にという単語を挿入します。