1. 概要

さまざまな数学的形状の面積を計算するための数式はたくさんあります。 ポリゴンは、有限数の接続された直線セグメントで構成されます。 また、ポリゴン全体を形成する一連の結果的なポイントとして表すこともできます。

正多角形の面積を計算するためのさまざまな式と、分解のためのいくつかの手法があります。 ただし、非正多角形の面積を計算するのは少し難しいです。

このチュートリアルでは、任意の2Dポリゴンの面積を計算する方法を学習します。 また、線形代数の基本的な操作を使用します。

2. 主な定義と操作

2.1. ベクター

2D空間のベクトルは、幾何学的オブジェクトです。 ポイントおよびベクトルの場合、からへの変位です。 変位は方向と距離の両方です。

2Dベクトルはオブジェクトとして表されます。 そして、とがそれぞれ座標とを持っている場合、ベクトルはです。

2.2. 行列式と行列式

行列は数値の2D配列であると想定できます。 マトリックスには行と列があります。 そしてその場合、行列は正方行列です。 重要なことに、正方行列には行列式と呼ばれる特別な数が存在します。

行列式はいくつかの方法で計算できます。 ただし、この記事では、行列式の計算についての知識が必要です。 最初に左上から右下の対角線の積を計算することにより、このような行列の行列式を計算できます。 これは主対角線とも呼ばれます。 次に、主対角線から左下から右上の対角線の積を引く必要があります。

例えば: 。

3. 三角形の面積

重要なのは、三角形が3つの頂点を持つポリゴンであるということです。 まず、三角形の面積を計算する方法を示します。 線形代数は、平行四辺形と三角形の面積の簡単な式を生成します。 それらを計算するには、2Dサーフェス上の頂点座標を知るだけで済みます。

したがって、平行四辺形があるとします。

平行四辺形の面積を計算するには、次のように計算します。 また、線形代数を参照して、ベクトルと列で構成される正方行列の行列式を計算できます。

同様に、三角形の面積は次のように計算できます。

たとえば、三角形の座標を取り、その面積を計算してみましょう。

 

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ベクトルを使用し、時計回りに並べたため、面積は負になります。 反時計回りに並べて使用すると、面積は正になります。

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この面積の式は非常に効率的な計算です。 さらに、根や三角関数が含まれていないことに気付くかもしれません。 2つの乗算、5つの加算、そしておそらく1つの2による除算があります。

4. ポリゴンの面積

4.1. 計算のアイデア

同様に、2Dポリゴンの面積を計算する方法もあります。 ポリゴンに自己交差がない場合、ポリゴンはシンプルと呼ばれることを忘れないでください。 頂点を持つ単純なポリゴンは、三角形に分解できます。 したがって、分解されたポリゴンの三角形のすべての符号付き領域を計算し、すべての領域を合計して、ポリゴン全体の領域を取得できます。 重要なのは、ポリゴンの面積も正または負のいずれかである可能性があるということです。 したがって、それは頂点の分解と順序のために選択されたポイントに依存します。

それでは、計算について詳しく説明しましょう。 任意の点とします。 ポリゴンの頂点です。 三角形のすべての面積の合計として面積を計算できます。 重要なのは、ポリゴンを閉じることを前提としています。

4.2. なぜそれが機能するのか

分解されたポリゴンの各三角形のポイントの方向が重要であることを忘れないでください。 ポリゴンとポイントの例を見てみましょう:

5つの三角形の面積を計算する必要があります:

お気づきかもしれませんが、最初の4つの三角形の向きは反時計回りです。 したがって、これらの三角形の面積は正になります。 しかし、ポリゴン領域ではない余分なスペースの領域を計算していることがわかります。 ただし、三角形は時計回りに向けられています。 したがって、その面積は負になり、余分な面積を補正します。

4.3. ポリゴン面積を計算する式

最終的な計算式をより明確にするために、特定のポイントを選択する場合があります。 点のセットで表されたポリゴンがあると仮定します。 したがって、ポリゴンの面積を計算する式:

、ここで。

これは、ポリゴンの各線分で形成できるすべての三角形領域の合計です。 すべてのポリゴンエッジを含める必要があることを忘れないでください。合計の最後の三角形は三角形になります。 したがって、インデックス。

5. グリーンの定理

最後に、上記の式を証明しましょう。 数学的分析を参照すると、グリーンの定理について知っておく必要があります。

多角形の線分とします。 で囲まれた領域とします。 注意してください、は私たちのターゲット地域です。 目標は、その面積を計算することです。 とがで定義された関数であると仮定します。 次に、グリーンの定理は次のように述べています。

したがって、ポリゴンの面積を計算するには、次のように選択する必要があります。 適切な選択はとです。 したがって、がターゲットポリゴン領域の場合、式はに変換されます。

重要なのは、ポリゴンラインセグメントとです。 そしてエリア:。 また、すべての線分が反時計回りに向いていると仮定します。

合計の各積分を計算するために、各線分を表すことができます:、、。

最後に行う必要があるのは、パラメーター化を置き換えることです。

.

そして、ターゲットポリゴン領域を計算する最後の式は次のとおりです。

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6. ポリゴン面積の計算例

たとえば、以下のポリゴンを取得し、上記の式を使用してその面積を計算してみましょう。

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重要なのは、面積を計算するためのポイントを選択したことです。

計算中にの領域が正であることに気付くかもしれません。 しかし、の領域は否定的です。 これは、ターゲットポイントがポリゴンの左下にあり、三角形のポイントの方向が三角形の後に切り替わるために発生します。 その結果、余分な計算領域を補正します。

7. 結論

この記事では、2Dポリゴンの面積を計算する方法を紹介しました。 さらに、線形代数のいくつかの主要なトピックに触れました。 さらに、三角形と平行四辺形は特定の種類のポリゴンであるため、それらの面積を計算する方法も導入しました。