1. 序章

このチュートリアルでは、モンティホール問題について説明します。 その解決策を説明し、人々が通常問題を正しく解決できない理由について話します。

2. モンティホール問題

モンティホール問題(またはモンティホールジレンマ)は、直感に反する解決策で有名な数学パズルです。 これは、テレビ番組「 Let’s Make a Deal 」を基にしたもので、通常は次のように表現されます。

テレビ番組のゲストは、3つのドアから選択します。 それらの1つの後ろにランダムに配置され、賞品があります。 他の2人はヤギを隠します。 ゲストがドアを選択すると、ホストのMontyHallが2つの選択されていないドアの1つを開きます。 次に、彼はゲストに彼の選択を変更する機会を提供します。 競技者は最初の選択に固執するべきですか、それとも他のドアに切り替えるべきですか?

つまり、どのアクションが賞品を獲得する可能性が高いか

3. 間違った解決策

ほとんどの人は、最初の選択に固執すると答えています。

理由は通常、3つのドアすべてが同じように賞品を隠す可能性が高いということです。 ホストが2つの選択されていないドアの1つを開いた後(モンティホールは常に背後にヤギがいるドアを開きます)、最初は同じ成功確率であった2つのオプションが残ります。 ホストが開くドアは、他の2つのドアのどちらが賞品を隠しているかについて何も教えてくれず、賞品がどこにあるかは変わらないため、確率の比率は変わりません。 したがって、それぞれの確率はです。 この段階でどのドアを選択するかは問題ではないので、最初の選択をそのままにしておくこともできます。

ただし、推論には欠陥があります。 確率が等しくないだけでなく、もう一方のドアに切り替えると賞品を獲得するチャンスがあります!

4. 直感的な説明

確率論を使用して正式に解を導き出す前に、一般的な用語で解を説明してみましょう。

賞金はそのうちの1つの後ろにランダムに配置されるため、選択するときに、そのドアに全確率を割り当てます。 同様に、賞品が選択したドアの後ろにない、つまり、他の2つのドアのいずれかの後ろにある可能性があります。

ここで、ドアに割り当てることができる合計確率を表す1リットルの水があると想像してみましょう。 さらに、3つのドアを示す3つのボールが付いた長方形のコンテナがあります。 最初にドアを選択することは、ドアを表すボールが小さい部分にあるように、固い障害物でコンテナを分割し、それぞれ小さい部分と大きい部分に水を注ぐようなものです。

4.1. モンティホールがドアを開けた後はどうなりますか?

モンティホールが他の2つのドアのいずれかを開き、その後ろに山羊がいることを示すと、彼はそのドアのボールを総体積の2/3を含む部分から取り出します。 これで、最初のドアのボールが1/3に浮かんでいて、残りの選択されていないドアが水の2/3に浮かんでいます。

水は確率を表すので、もう一方のドアが賞品を隠す可能性はです。

4.2. 残りの2つのドアの間で確率を再配分しませんか?

モンティがボールを取り出しているときに、ドアの部分に水を少し入れて、2つに同じ量の水が含まれるようにできなかった理由を尋ねることができます。

大部分の水は、私たちが最初に間違っていた確率です。 小さい部分の水は、選択したドアが賞品を隠す確率を表しています。 選択後に2つの部分から水を混合する場合、異なる意味の確率(正しいドアを選択した場合と選択しなかった場合)を組み合わせようとしますが、混合物には1つだけ(正しい)を表します。全体として。

モンティの選択は私たちの最初の決定の正しさを変えないので、私たちがそれに固執すれば、私たちはまだ賞を獲得するチャンスがあります。 ただし、Montyがドアを開くと、左側のドアに集中する可能性があるため、選択されていない残りのドアに関連する確率が変わります。山羊がドアの後ろにあることがわかるため、賞品が開いたドアの後ろにある確率は割り当てられません。 。

5. 古典的なアプローチ

確率理論を使用して問題を正式に解決できます。 古典的なアプローチは、イベントスペースを構築し、構成要素である基本イベントの確率を追加することにより、2つの戦略の成功確率を決定します。

5.1. モンティホールがドアを開ける前に

最初に3つの可能な取り決めがあります:

   

ここで、、、およびはドアであり、賞品を表し、山羊を表します。

選択できるドアが3つあるため、最初の選択に応じて9つの「世界」が考えられます()。 この時点までのすべての決定はランダムであったため、それらすべてが同じように発生する可能性があります。 行の確率をで示して、可能な世界の空間がどのようなものかを見てみましょう。

   

5.2. モンティホールがドアを開ける

モンティホールは賞品でドアを開けません。 したがって、賞品が私たちが選んだドアの後ろにない場合、モンティホールの選択はランダムではありません彼はの確率でヤギを隠してドアを開けます。 対照的に、最初の推測が正しければ、彼の選択はランダムです。 彼は残りの2つのドアのいずれかを確率で開きます。 彼の選択をで示し、それが起こりうるイベントの空間とその確率にどのように影響するかを見てみましょう。

   

5.3. 切り替えるか切り替えないか?

それが私たちのイベントスペースです。 根元事象が含まれていますが、すべてが同じように発生するわけではありません。 「賞品が最初に選択されたドアの後ろにある」というイベントの確率を見つけるために、賞品が。で示されるドアの後ろにある行の確率を合計します。 それらは:

   

したがって、の確率は次のとおりです。

   

したがって、最初の選択に固執すれば、賞を獲得する可能性があります。 ただし、切り替えると、勝つ確率はに上がります。

正しい結論に到達するための重要な観察は、賞品のあるドアを選択しない場合、モンティホールの選択はランダムではないということです。 その観察がなければ、すべての行を同じように扱い、計算し、2つの戦略が同じであると誤って結論付けます。

6. ベイジアンアプローチ

イベントスペースを使用した従来のアプローチは、正しい解決策を提供します。 ただし、証明はかなり長いです。 ベイズの定理を使用すると、より短いものを書くことができます。

(1)  

ここで、は仮説であり、それを支持する(または反論する)証拠です。 はの事前確率として知られており、は事後確率です。 ルール(\ eqref {eq:bayes})の適用は、(収集された証拠に基づいて)以前の信念を変更するため、ベイズ更新と呼ばれます。

6.1. 表記

私たちは」3つの仮説を定義します。

   

最初の選択をとして示し、イベントを「モンティホールがドアを開ける」と定義します。ここで、。 興味深いのは、後部、つまり、ゲームの開始時に選択したドアの後ろに賞品がある確率です。

(2)  

式( 2 )の各コンポーネントを決定しましょう。

6.2. 事前

ドアが賞品を隠す可能性も同じであるため、事前の情報は統一されます。

   

6.3. 条件付き確率

条件付き確率は、最初の推測が正しければ、モンティホールが他の2つのドアの1つをランダムに開くためです。

6.4. モンティホールの選択の確率

事後確率を見つけるには、も必要です。 全確率の法則を使用して計算します。

   

、ここで、は選択しなかったドアを示し、Monty Hallは開かなかった()ので、次のようになります。

   

そう:

   

6.5. 後部

最後に、式( 2 )を使用して事後確率を計算します。

   

したがって、賞品が最初に選択したドアの後ろにある確率はです。 賞品がもう一方のドアの後ろにある確率は、モンティホールがドアを開けた後、2つの仮説しか残っていないためです:と、したがって、それらの確率の合計は。になります。

7. なぜ人々はモンティホール問題を間違えるのか

ほとんどの人は解決策と証明が直感に反していると感じています。この問題は1975年にバークレーの統計家SteveSelvin によって最初に提示(および解決)されましたが、1990年に大衆の注目を集めました。 マリリン・ボス・サバントがパレード誌の彼女のコラムで、正しい答えがドアを切り替えることだった理由を説明したとき。 彼女は自分が間違っていると主張する読者から何千通もの手紙を受け取りました。その多くは博士号を取得しており、米国の大学や研究施設の数学科で働いていました。

心理学者が問題に興味を持ったのはその時です。 彼らは、ほとんどの人が最初の選択に固執し、なぜそれが間違っていたのか理解できないことに気づきました。 数学の習熟度でさえ、人が問題を正しく解決することを保証するものではありません。

ヤギのいるドアに固執するよりも、ドアを隠してドアから切り替えて賞品を失うと、後悔が激しくなると考えられます。解決策を理解していても、予想される後悔は彼らの行動による損失との関連は、切り替えが合理的な選択であるという数学的証明よりも強力です。 他の理論人間が正しい選択を特定できない理由があり、私たちの常識と直感が私たちを統計的推論の誤謬の影響を受けやすくしているようです。

8. 結論

この記事では、モンティホール問題を紹介しました。 ホストがドアを開けた後、切り替えがより良い戦略である理由を直感的に説明しました。 さらに、2つの証明を与えました。1つはイベントスペースを構築して列挙することによるもので、もう1つはベイズの定理を使用することによるものです。

解決策は数学的には物議を醸すものではありませんが、モンティホール問題は依然として注目を集めています。 それは人間の統計的直観と偏見に光を当てるので、心理学的観点から研究することは興味深いです。