10の代替–2進数、8進数、16進数
1. 序章
このチュートリアルでは、代替記数法に関連する基本的な概念とその存在理由を学習します。
最初に、一般的な記数法と、物事をセットにグループ化する問題に関連して説明します。
次に、最も一般的な記数法である10進法について学習します。 これに代わるものとして、2番目に一般的な数字システムである2進数、8進数、および16進数システムについても学習します。
このチュートリアルの終わりに、今日使用されている最も一般的な数字システムと少し一般的でない数字システムについて理解します。
2. 記数法とそれらが存在する理由
2.1. 記数法とは何ですか？
記数法は、数字を書き留めて使用するためのシステムです。 記数法は、記号を組み合わせて数を表現するための規則を示し、それらを相互に関連付けます。 これは、数値とセットのより基本的な概念に基づいています。これについては、ここで簡単に説明します。
数とセットの2つの概念の中で、セットの概念はより基本的なものです。 数えることはすべての数学的知識の基礎であると考えることに慣れているので、これを学ぶのは驚くかもしれません。 これは、少なくとも、彼らが学校で私たちに教える最初のことです。
しかし、直感に反して、数学の哲学では、数字はその分野の基本的な概念とは見なされていません。 代わりに、それらはセットの概念とそれらの類似性から導き出されます。 ラッセルの定義によると、セットの数は、元のセットに類似しているすべてのセットのセットです。
その場合、記数法は、互いに異なるすべてのセットのセットを比較できる規則のシステムであるとも言えます。
2.2. これは実際にはどういう意味ですか？
これをさらに明確にするために例を見てみましょう。 宇宙には1つのクラスのオブジェクトしか存在しないと仮定しましょう。 誰もが知っているように、実際、宇宙のすべてはアヒルであるか、アヒルではないです。
ここで、そのようなアヒルが1つだけ存在し、したがって、宇宙は次の2つのセットのみで構成されているとしましょう。
2.3. 最も単純な記数法
この宇宙では、存在するすべてのもののセットの次元を参照したい場合、必要なのは1つのシンボルだけです。 たとえば、縦のタリーマーク「|」を書き留めることができます。 存在する唯一のオブジェクトを参照しているときはいつでも。 もちろん、それを参照していない場合は、単にマークを書くことは避けます。
したがって、このシンボルとオブジェクト間の対応の表を使用して、存在するすべてのものを完全に説明することができます。
ただし、アヒルが自分自身を複製する場合は、追加の要素を表すために、もう1つのタリーマークを追加する必要があります：
2.4. 他のオブジェクトでも機能します
オブジェクトのセットにオブジェクトを追加し続けると、この手順を無期限に繰り返すことができることに注意してください。 オブジェクトのセットに追加する追加のオブジェクトに対して、マークの文字列に1つの追加のマークを追加するだけです。
この手順がアヒル以外のオブジェクトでも同様に機能することにも注意してください。 実際、宇宙のすべてのクラスのオブジェクトのリストを想像し、それらのそれぞれを排他的に構成するセットについて、上記のようなテーブルを作成することができます。
そうすることで、以前と同じように、カーディナリティに応じて各セットにタリーマークを割り当てることができます。 そうすれば、特定のタリーマークの文字列を使用して、そこに含まれるオブジェクトの性質に関係なく、その文字列が関連付けられている可能性のあるすべてのセットを参照できます。 上記の数値の定義を言い換えると、セットのタリーマークは、それらの特定のタリーマークに関連付けられているオブジェクトのすべてのセットのセットを示す記号と考えることができます。
2.5. 位置記数法
一意の記号とその繰り返しを使用して数値を表すシステムは、1進システムと呼ばれます。 前のセクションで学習した記数法は、このカテゴリに分類されます。
ここで説明したシステムは、非定位置であるため、特別であることに注意してください。 マークの文字列内の任意の2つのタリーマークを交換すると、実際には、文字列が表す数値は変更されません。
ただし、現在使用されているほとんどの記数法は定位置です。 つまり、は、数値を表す文字列に記号を書き込む順序が重要です。
これは、過剰な量の記号を書かないようにするために、いくつかの記号とその位置を使用して、他の記号の繰り返しを表すことができるためです。 以下で検討するすべての記数法は、この位置体系のカテゴリに分類されます。つまり、記号を書く順序が重要です。
3. 10進法
最も一般的な記数法は、私たちが日常生活で使用している10進法です。 10進法は、私たちがよく知っている10進法の10進記号で構成されています。 今日では、空集合を説明するようなシンボルのリストの最初の要素を検討するのが一般的です。 ただし、これは比較的最近の確認です。
10進法で数値を表すために使用する記号は次のとおりです。
10進法で書かれた数値は基数10であると言えます。 数値の直後に添え字を使用することで、数値が基数10で表されていることを示すことができます。 たとえば、基数10で表される数値は、として記述されます。または、基数が明確な場合は常に同様に記述されます。
これは最も一般的なシステムであるため、他のシステムを研究するための参照として使用します。
4. 10の代替となるベースは何ですか
4.1. バイナリシステム
バイナリシステムは、コンピュータと最も密接に関連する数字システムです。 任意の数を表すために、通常は1と0の2桁を使用します。
2つのシンボルしか使用しないため、このシステムはベース2システムであると言います。 2桁は、それぞれに対応する場合があります。
2進法は、他の記数法ではなく、数字を構成する数字の文字列内の個々の数字に特別な名前を付けています。 これらはビットと呼ばれ、コンピューターに保存されている情報を参照するときに2桁の数字の同義語としてよく使用されます。
4.2. バイナリへの変換
数値は、ビットの順序付けられたシーケンスとしてバイナリ表記で表すことができます。 2のすべての逆順の累乗を繰り返し減算することにより、10進数を2進数に変換できます。 たとえば、10進数を2進数に変換してみましょう。
- に収まる2の最大の累乗は、であり、10の差があります。
- 10に収まる2の最大の累乗は、であり、2の差があります。
- 2つに収まる2の最大の累乗は、であり、違いはありません
次に、考慮した最大値までの2の累乗をすべて列挙し、関連する係数を記述します。
10進数に対応する2進数は、降順で2の累乗の係数を含む文字列になります：
ペンと紙で2進数を書くときは、通常、右側にある最小の数字から左側にある最大の数字の順に数字を並べます。 ただし、私たちが書いている数字が、コンピュータのメモリにコピーする単語で構成されている場合、書き込み順序が異なる場合があることに注意してください。
4.3. オクタルシステム
8進法は、基数8の記数法です。 その数字は、10進表記の最初の8桁に対応します。
このシステムは、伝統的に東アジアの天文学的慣行で使用されていましたが、18世紀のスウェーデンでの戦争努力の支援でも使用されていました。 さらに、デジタル計算機で使用され、LED画面で数値を構成するセグメントの表示を制御します。
このシステムには、累乗と対数を計算するためのいくつかの数値的な利点があります。 実際、このシステムを使用することで、2のすべての累乗を簡単に書き留めることができます。
ただし、同様のプロパティは16進法でも共有されているため、8進法の使用は多少制限されます。
4.4. 16進法
16進システムは、16個の記号を使用して数字を表します。 ほとんどの人間の言語で使用される数字はわずか10であるため、10桁の後にアルファベットの最初の6文字を追加するのが一般的です：
16進法は、浮動小数点演算で使用できますが、ASCII文字の文字列を数値で表すこともできます。
コンパクトなフォーマットでのRGBカラーの表現にも使用されます。 色を表現していることを示すために、通常はハッシュ記号＃firstを配置します。 次に、との間に含まれる3つの16進数のシーケンスを続けます。
- 純赤：＃FF0000
- ピュアグリーン：＃00FF00
- ピュアブルー：＃0000FF
- Baeldungライトグリーン：＃63B175
- Baeldungライトブルー：＃6692E3
これらの16進数は、文字列ごとに1つではなく、3つであり、それぞれが色ごとに2桁で構成されていることに注意してください。
5. 結論
この記事では、記数法とそれに関連する概念について学びました。
まず、1進法、非位数法、および10進法について説明しました。
後者の代わりに、コンピュータサイエンスで頻繁に使用する2進数、8進数、16進数のシステムを調べました。
