1. 序章

データの可用性の向上に伴い、現在のコンピューティングシナリオでは、データを処理するための戦略が大きな関心事になっています。 

今日では、モノのインターネット（IoT）やビッグデータなどの一部のテクノロジーやコンピューティングパラダイムが、大量のデータの生成に特に責任を負っています。

ただし、大量のデータを取得した場合でも、特定の目的のために追加のデータを見積もる必要がある場合があります。 多くの場合、XY形式のデータがあります。Xごとに、対応するYがあります。 したがって、これらのシナリオでは、補間多項式を使用して、特定の範囲内の新しいXの未知のYを推定できます。

多項式補間は、コンピュータサイエンスでいくつかの用途があることに注意してください。 このような使用例は、データ推定です（いくつかの類似点があります） 回帰 目的）および画面解像度の適応。

このチュートリアルでは、多項式補間に関する基本的な概念を学習します。最初に、多項式補間に関するコア概念を確認します。 そこで、線形補間の方法を検討します。 次に、2次補間を行うための同様の方法を調査します。 最後に、他の補間方法を指摘します。

2. 多項式補間

多くの場合、提供された多くのサンプル（XYデータ）を分析する必要があります。 ただし、このデータを生成した関数がわからない場合があります。 したがって、提供されていないXの中間値を分析する必要がある場合は、対応するYを推定する必要があります。

事前に、このシナリオでは、XYデータが値のペアで構成されていることを強調することが重要です。 具体的には、Xは、処理後にY（出力値）を生成する入力値です。

多項式補間により、提供されたXYデータに一致する関数を決定できます。 これは、関数の曲線がデカルト平面の点（X、Y）と交差することを意味します。

名前が示すように、多項式補間は多項式関数を生成します。 次数の多項式の一般式はです。

さらに、XYデータの次数一致サンプルの一意の多項式があります。 したがって、たとえば、2つの特定のポイントを横切る単一の線と3つの特定のポイントを横切る単一の放物線があります。

したがって、私たちの目的は、これらの多項式を見つけ、それらを使用してXの中間値のYを推定することです（これは、関数の補間に使用される最小Xと最大Xの間の新しいX値を意味します）。

2.1. 抽象例

XYデータの形式で3つのサンプルがあると考えてみましょう。 この例では、Xはサンプルを収集した時刻を示します。 Yは、サンプルを収集するときに測定された値です。

次の表にサンプルを示します。

次の画像は、デカルト平面にプロットされたサンプルを示しています。

次の画像は、サンプルを補間する多項式を示しています。

3. 線形多項式補間

名前が示すように、線形補間は、提供されたXYデータサンプルを含む線形関数を決定することを目的としています。したがって、この関数によって生成される線は、カルテシアン平面内のXYデータの座標と交差する必要があります。

関数は、1次多項式の場合、デカルト平面の線を記述します。 このように、線形多項式補間を実行するには、XYデータの2つのサンプルが必要です。 それで、次の一般的なサンプルを考えてみましょう：と。

補間多項式を見つけるには、まず、XYサンプルを1次多項式関数（）の一般式にマッピングする必要があります。 そうすることで、そして。

、、、は数値であるため、係数のみを決定する必要があり、それは次の連立方程式を満たします。

2つの方程式のシステムを解くには、置換法、比較法、および加算法のさまざまな方法があります。 だから、 ■これらの方法のいずれかが問題に適用される場合、それに最も適した方法を選択できます。

連立方程式を解いた後、係数との両方の数値が得られます。 したがって、最終的に、一般式（）から未知の係数を置き換えて、補間多項式を決定できます。

4. 二次多項式補間

二次内挿は、XYサンプルを考慮する二次関数（2次）を見つけることを最終的な目的としています。 したがって、この関数は、提供されたすべてのサンプルを横切る放物線をグラフィカルに記述します。

2次方程式として、補間多項式を計算するために3つのXYサンプルを提供する必要があります。 このように、3つの一般的な数値サンプル（（x1、y1）、（x2、y2）、および（x3、y3））を考えてみましょう。

線形補間と同様に、XYサンプルを2次多項式関数の一般式にマッピングする必要があります。 したがって、サンプルをマッピングすると、、、、およびの3つの関数が得られます。

マップされた関数を使用して、それらを3つの方程式のシステムに編成できます。 このように、システムを解くことにより、係数a_0、a_1、およびa_2を決定できます。

3つの方程式のシステムを解くための一般的な方法は、消去法とCrammerの法則です。 それぞれの方法には、異なる操作、長所、および短所があります。 したがって、問題を評価して、どちらを使用するかを決定する必要があります。

係数、、、およびの数値を使用して、最終的に2次多項式関数（）の一般式にそれらを設定し、補間多項式を作成できます。

5. その他の多項式補間法

前のセクションで示した簡単な方法に加えて、XYサンプルのセットを指定して多項式を内挿する他の方法があります。 したがって、このセクションでは、これらの方法について簡単に説明します。

最初の代替方法は、ラグランジュ補間多項式を呼び出します。 このメソッドは、XYサンプルの所定のセットを補間する最低次の多項式を見つけます。 それでは、XYサンプルのセット、…、、…を考えてみましょう。

このように、補間多項式の一般式はです。 で与えられるラグランジュ基底多項式はどこにありますか。

もう1つの方法は、ニュートンの差商補間と呼ばれます。 この方法では、XYサンプルのセット、…、、…を処理して、差商手法によって補間多項式を見つけます。

この方法では、最初に、提供されたXYサンプルのセットの2つのサンプルからk個のサンプルまで、すべての可能な組み合わせのすべての差商を決定する必要があります。

その後、差商を使用して、次の式で補間多項式を見つけます。

6. 結論

このチュートリアルでは、多項式補間について学びました。 最初に、補間の基本的な概念を見ました。 次に、1次補間多項式を見つけるための簡単な方法を検討しました。 同様の方法で、2次補間多項式を見つける方法を調査しました。 最後に、一般的な内挿法の概要を説明しました。

多項式補間は、コンピュータサイエンスにいくつかの用途があると結論付けることができます。 ただし、補間多項式を決定するためのいくつかの方法が存在するため、特定の問題、シナリオ、およびリソースを分析して、どれを使用するかを定義する必要があります。