1. 概要

このチュートリアルでは、数学のランダムプロセスであるランダムウォークについて説明します。さまざまなタイプのランダムウォークの例を使用して定義を示します。

最後に、ランダムウォークのアプリケーションについて説明します。

2. ランダムウォーク入門

ランダムウォークは、オブジェクトが特定の方向に進む一連の個別のステップとして定義できます。さらに、各ステップでのオブジェクトの方向と動きを確率的に決定します。 数学と確率論では、ランダムな仕事はランダムプロセスです。

ランダムウォークでは、将来の位置はオブジェクトの現在の位置から完全に独立しています。 さらに、これはマルコフ過程の例です。 ある位置から開始して、オブジェクトは任意の方向に進むことができます。 オブジェクトが任意の方向に実行する各ステップには、それに関連する確率があります。 したがって、最終位置は原点から完全に独立しています。

ランダムウォークの簡単な例は、酔っぱらいの散歩です。 酔っぱらいには優先的な方向性はありません。 したがって、彼はすべての方向に等しく移動する可能性があります。

ランダムワークの概念では、最も重要な問題は、一定時間ランダムウォークを行った後のオブジェクトの現在位置の確率を推定できる確率分布関数を見つけることです。

3. 一次元ランダムウォーク

最も単純で基本的なランダムウォークは、1次元ウォークです。 整数のランダムウォークを見てみましょう：

したがって、ここでは、オブジェクトがポイントに立っています。 前方と後方の2つの方向に移動できます。 次に、コインを投げて、オブジェクトの各ステップの方向を決定します。 ヘッドの場合、オブジェクトは前方に移動します。 尻尾の場合、オブジェクトは後方に移動します。 ここでは、コインを裏返し、ルールに従ってオブジェクトを1ステップ移動し、コインをもう一度裏返します。

それでは、プロセスを開始しましょう。 最初のターンを見てみましょう：

最初のターンの後、オブジェクトは同じ確率で移動または配置できます。 次に、2番目のターンを取りましょう。

2番目の手順を実行すると、オブジェクトは、、またはの3つの位置にあります。 ここで、位置とに関連する確率は同じです。 の確率ではありますが、オブジェクトは位置に立っている可能性があります。 同様に、3番目のターンの確率を見てみましょう。

ここで、オブジェクトは位置にあります。 いずれかの位置にあるオブジェクトを見つける確率は、またはです。 ただし、いずれかの位置にあるオブジェクトを見つける確率は、またはです。

これで、回転数が奇数の場合、オブジェクトが移動できるすべての可能な位置が奇数であることが簡単にわかります。 同様に、偶数ターンの場合、すべての可能な位置は偶数です。

ここで、1次元のランダムウォークからより多くの洞察を得るために、ランダムプロセスでのコインの結果を示していると仮定しましょう。 したがって、最初のターンで裏返した最初のコインの結果です。 さらに、この変数は確率変数として知られています。

ここで、1次元のランダムウォークの場合、確率変数の期待値または平均値は常にです。

4. 二次元ランダムウォーク

ランダムウォークは、どの次元でも発生する可能性があります。 ここでは、2次元整数格子のランダムウォークについて説明します。 2次元整数格子を見てみましょう：

2次元のランダムウォークでは、オブジェクトは4つの異なる方向に移動できます：前方、後方、左、右。 したがって、この環境では、オブジェクトを移動するために、各ステップでコインを2回裏返す必要があります。 最初のフリップで、オブジェクトを前方に移動するか後方に移動するかを決定できます。 2番目のフリップは、右方向と左方向のどちらに進むかを決定します。

興味深いことに、ランダムウォークでは、ステップ数を無限に設定した場合、2Dグリッドの任意のポイントに到達する確率はです。

5. 種類

次に、さまざまな種類のランダムウォークについて説明します。 オブジェクトの位置に基づくランダムウォークには、リカレントウォークとトランジェントウォークの2種類があります。

ランダムウォークを繰り返すと、ランダム位置から開始位置に戻ることが保証されます。 1次元および2次元のランダムウォークはこのカテゴリに分類されます。提示された例からこれを確認できます。 多数のステップが与えられると、オブジェクトが開始位置に戻ることが保証されます。

反復的なランダムウォークとは対照的に、一時的なランダムウォークは開始位置に戻ることを保証しません。 実際、ほとんどの場合、歩行が開始位置に戻らない可能性があります。

3次元以上のランダムウォークは、一時的なカテゴリに分類されます。各ステップで移動するオブジェクトの選択肢が非常に多いため、開始位置に戻ることができません。

6. ランダムウォークの応用

数学、コンピューターサイエンス、生物学、化学、物理学にはランダムウォークの多くのアプリケーションがあります。生物学的遺伝的浮動では、ランダムウォークは関連する統計プロセスの一般的な考え方を示します。 。 物理学では、それらを使用して高分子物理学の理想チェーンを記述することができます。

ランダムワークの概念も重要であり、心理学、金融、生態学などのいくつかの分野で使用されています。 さらに、ランダムウォークの概念で株式市場の変動を説明できます。さらに、Google検索エンジンのアルゴリズムもそれらを使用します。

7. 結論

このチュートリアルでは、ランダムウォークの概念について詳しく説明します。 例を挙げて、ランダムウォークを1次元および2次元で説明しました。

最後に、ランダムウォークのさまざまなアプリケーションを紹介しました。