1. 概要

巡回セールスマン問題(TSP)は、理論計算機科学およびオペレーションズリサーチで非常によく知られている問題です。 TSPの標準バージョンは解決が難しい問題であり、NP困難クラスに属しています。

このチュートリアルでは、TSPを解決するための動的アプローチについて説明します。 さらに、動的アプローチの時間計算量分析も示します。

2. TSPの紹介

TSPでは、一連の都市と都市の各ペア間の距離を考えると、セールスマンは、すべての都市を1回だけ訪問し、開始した都市に戻るための最短経路を選択する必要があります。

TSPをより詳細に理解するために例を見てみましょう。

ここで、ノードは都市を表し、各エッジの値は、ある都市から別の都市までの距離を表します。 セールスマンが街から旅を始めたとしましょう。 TSPによると、セールスマンはすべての都市を1回だけ移動し、最短経路を選択して都市に戻る必要があります。 ここで、最短経路とは、セールスマンが移動した各都市間の距離の合計を意味し、他のどの経路よりも短くする必要があります。

都市だけでは、問題はすでにかなり複雑に見えます。 例のグラフは完全グラフであるため、各都市から、セールスマンはグラフ内の他の都市に到達できます。 各都市から、セールスマンはどの都市にも再訪する必要がないようにルートを選択する必要があり、移動距離の合計は最小にする必要があります。

そのような道を見つける方法は? TSP問題を解決するためのアルゴリズムについて説明しましょう。

3. TSPを解くための動的計画法アプローチ

まず、TSPの動的アプローチの擬似コードを見てから、手順について詳しく説明します。

このアルゴリズムでは、訪問する必要のある必要な都市のサブセット、都市間の距離、および開始都市を入力として取得します。 各都市は、のような一意の都市IDで識別されます。

最初は、すべての都市が訪問されておらず、訪問は都市から始まります。 初期の旅費はに等しいと仮定します。 次に、再帰関数に基づいてTSP距離値が計算されます。 サブセット内の都市の数が2の場合、再帰関数はそれらの距離をベースケースとして返します。

一方、都市の数がより大きい場合は、現在の都市から最も近い都市までの距離を計算し、残りの都市間の最小距離を再帰的に計算します。

最後に、アルゴリズムはTSPソリューションとして最小距離を返します。

ここでは、動的アプローチを使用してコスト関数を計算します 再帰呼び出しを使用して、元の問題の各サブセットのコスト関数を計算します。

4. 時間計算量分析

TSPの動的アルゴリズムでは、可能なサブセットの数は最大でです。 各サブセットは時間で解決できます。 したがって、このアルゴリズムの時間計算量はになります。

5. 結論

TSPは一般的なNP困難問題ですが、入力都市のサイズに応じて、さまざまなアルゴリズムを使用して最適またはほぼ最適なソリューションを見つけることができます。

このチュートリアルでは、TSPを解くための動的計画法のアプローチについて説明しました。 また、与えられたアルゴリズムの時間計算量も示しました。