1. 序章

このチュートリアルでは、最急降下法アルゴリズムの背後にある一般的な直感を構築しようとします。 最急降下法の背後にある数学を理解することで、線形回帰などの問題で機能する理由を理解できます。

さらに重要なのは、そのような問題を解決する他の方法と比較して、なぜそれが効果的であるかを理解することです。

2. 最適化

最適化は、特定の制約と条件下で可能な限り最高の出力を達成するために入力の組み合わせを識別する一般的なプロセスです。たとえば巡回セールスマン問題のように、いくつかの実際的な問題を解決するには最適化手法が必要です。

ここでの目的は、目的地のリストを指定して、人がたどる最短かつ最も効率的なルートを見つけることです。

おそらく、最適化を理解するためのより簡単な方法は、線形関数のような単純な数学的定式化を使用することです。

この関数は、線形計画法では目的関数として知られています。 アイデアは、与えられた制約の下で最大化または最小化する必要があるいくつかの量を定義するということです。 二次計画法のような高階関数を含む他のクラスの最適化問題があります。

線形計画法や二次計画法など、最適化問題を解決する方法はいくつかあります。 ただし、これらの関数の重要な機能は、凸関数であるということを理解する必要があります。

凸関数は、から、に線を引くと、凸関数のグラフがその線の下にある関数です。 このプロパティを示さない関数は、非凸関数と呼ばれます。

これが最適化問題で重要である理由を理解するのはかなり直感的です。 凸関数は、グローバルに最適な最適解を1つだけ持つことができます。 これにより、このような問題の解決が比較的簡単になります。

一方、非凸関数には、複数の局所的に最適な解が含まれる場合があります。 これにより、グローバルに最適なソリューションを見つけることが非常に困難になります。

3. 線形回帰

線形回帰は、観測されたデータのセットに線形方程式を当てはめるための統計手法です。 アイデアは、スカラー応答と1つ以上の説明変数の間の線形関係を定義することです。 たとえば、雨と、気温、湿度、高度などの説明変数との関係をモデル化しようとする場合があります。

線形回帰は、数学的に非常に単純な形式をとるため、非常に洗練されています。

これがスカラー応答であり、説明変数です。 直線の傾きと切片は、観測されたデータセットから学習する予定のモデルパラメータです。

では、線形回帰の問題をどのように解決するのでしょうか。 これを最適化問題に変換する必要があります。 線形回帰で最も広く使用されている定式化の1つは、最小二乗法です。 基本的に、線形モデルのコスト関数を最小化しようとします。

ここでは、すべての入力データにわたって、推定値と実際の値の間の合計誤差を最小限に抑えようとします。 目的は、コスト関数の値が最小になるモデルパラメーターのセットを見つけることです。

4. コスト関数を解く

線形最小二乗法のコスト関数は2次関数です。 したがって、このコスト関数を最適化する問題は、二次計画問題です。 この問題を解決する方法はいくつかあります。 分析、グラフィカル、さらには数値など、より単純なオプションのいくつかを採用することから始めることができます。

二次計画問題を分析的に解決する方法を見てみましょう。 まず、線形制約とともに単純な2次目的関数を取得します。

物事を単純に保つために、単一の決定変数を持つ目的関数を使用しています。 ただし、実際のアプリケーションでは、決定変数の数ははるかに多くなります。 分析的アプローチに従って、目的関数と制約を再配置して、2次方程式を作成します。

この二次方程式を解くのはかなり簡単です。 これをグラフィカルに視覚化して、ソリューションを理解することもできます。

ただし、1つではなく数百の決定変数がある場合を想像してみてください。 つまり、数値ソフトウェアを使用しないと、この問題を効率的に解決することはできなくなります。 数値ソフトウェアを使用しても、決定変数を追加するたびに、このような問題を解決するのに指数関数的に長い時間がかかる場合があります。

もちろん、内部点、有効制約法、拡張ラグランジュ、共役勾配法など、二次計画問題を解決する方法は他にもいくつかあります。 ]、およびシンプレックスアルゴリズムの拡張。 ここでは、これらの詳細については説明しません。

このような問題を解決するための反復的なアプローチの1つは、最急降下法です。

5. 最急降下法

最急降下法は、対応するコスト関数を最小化する関数の係数を見つけるための反復アルゴリズムです。 これらの係数は、学習する必要のある線形モデルのパラメーターに他なりません。 いくつかの小さなランダム値を想定して、すべての係数から始めます。 これは、これらの係数を使用してコスト関数の値を計算するのに役立ちます。

次のステップは、これらの係数を調整して、コスト関数の値を下げることができるようにすることです。 このためには、係数値をどの方向に調整する必要があるかを知る必要があります。 ここで、係数に関するコスト関数の導関数は次のことに役立ちます。

基本的に、偏導関数は、係数に関する特定の点でのコスト関数の傾きを与える微積分からのツールです。 導関数と学習率パラメーターを使用して係数を更新し、変化率を制御します。

係数の最適値に達するまで、このプロセスを繰り返します。 これは、コスト関数の値がゼロになるか、より実際にはゼロに近づくことを意味する場合があります。 これにより、いくつかの決定変数を使用した線形回帰問題を解決するための、簡単ですが強力な最適化手法が得られます。 もちろん、微分可能なコスト関数が必要です。

6. 最急降下法が機能する理由

ここで、線形回帰、そのコスト関数、および最急降下アルゴリズムを使用してそれを解決する方法について説明しました。 線形最小二乗コスト関数に対して勾配降下アルゴリズムが機能するのはなぜですか？ 実際、この背後にある直感は理解するのにそれほど複雑ではありません。 凸関数が単一のグローバルに最適なソリューションをどのように保証できるかを見てきました。

基本的に、最小二乗法の場合のコスト関数は凸関数であることがわかります。 これにより、最適なソリューションは1つだけになります。

問題空間が大きくなるにつれて分析的アプローチは実用的ではなくなりますが、最急降下法の反復アプローチは非常にうまく機能します。 係数を正しい方向に更新している間、グローバル最小値に到達することは確実です。

唯一の注意点は、適切な学習率パラメータを選択することです。 学習率が高いと、大きな歩幅のために最適なソリューションを見逃すリスクがありますが、学習率が小さいと、最適なソリューションに到達するまでにはるかに長い時間がかかる場合があります。

もちろん、最急降下法は非凸コスト関数でも機能します。 ただし、これにより、グローバルに最適なソリューションではなく、ローカルに最適なソリューションが見つかる可能性があります。 これにより、非凸モデルで最急降下アルゴリズムを使用することは非常に困難になります。

7. 結論

この記事では、最適化問題と凸解析の基本を検討しました。 また、線形回帰の問題とそのコスト関数を解く方法についても説明しました。

最後に、分析的アプローチと比較して、勾配降下アルゴリズムがそのような問題を解決するためにうまく機能する理由を分析しました。 これは、最急降下アルゴリズムの背後にある直感を構築するのに役立ちます。